Derivatrechner

Was ist Derivat in Mathe?

Die Ableitung einer Funktion ist ein Konzept der Differentialrechnung, das die Änderungsrate einer Funktion an einem bestimmten Punkt charakterisiert. Es ist definiert als die Grenze des Verhältnisses des Inkrements der Funktion zum Inkrement ihres Arguments, wenn das Inkrement des Arguments gegen Null tendiert, wenn eine solche Grenze existiert. Eine Funktion mit einer endlichen Ableitung (irgendwann) heißt differenzierbar (an diesem Punkt).

Der Prozess der Berechnung der Ableitung wird als Differenzierung bezeichnet. Der umgekehrte Prozess - das Original finden - Integration.

Warum müssen Sie möglicherweise Derivat berechnen?

Auf den ersten Blick werden Derivate benötigt, um die Köpfe bereits überlasteter Schulkinder zu füllen, aber das ist nicht der Fall. Stellen Sie sich ein Auto vor, das durch die Stadt fährt. Manchmal steht es, manchmal fährt es, manchmal bremst es, manchmal beschleunigt es.

Nehmen wir an, es fuhr 3 Stunden und 60 Kilometer. Dann teilen wir nach der Formel aus der Grundschule 60 durch 3 und sagen, dass sie mit 20km/h gefahren ist. Haben wir recht Na ja, teilweise richtig. Wir haben die "Durchschnittsgeschwindigkeit". Aber wozu dient es? Das Auto kann 5 Minuten lang mit dieser Geschwindigkeit fahren und den Rest der Zeit entweder langsamer oder schneller. Was soll ich machen?

Und warum müssen wir die Geschwindigkeit für alle 3 Stunden der Route kennen? Teilen wir die Route für eine Stunde in 3 Teile und berechnen die Geschwindigkeit für jeden Abschnitt. Lasst uns. Angenommen, Sie erreichen 10, 20 und 30 km/h. Hier. Die Situation ist bereits klarer - das Auto fuhr in der letzten Stunde schneller als in den vorherigen.

Aber das ist wieder durchschnittlich. Was ist, wenn es in der letzten Stunde nur eine halbe Stunde lang langsam fuhr und dann plötzlich beschleunigte und schnell anfing zu fahren? Ja, das kann so sein.

Wie wir sehen können, erhalten wir das Ergebnis umso genauer, je mehr wir unser 3-Stunden-Intervall aufschlüsseln. Aber wir brauchen kein "genaueres" Ergebnis - wir brauchen ein völlig genaues Ergebnis. Dies bedeutet, dass die Zeit in unendlich viele Teile unterteilt werden muss. Und das Teil selbst wird daher unendlich klein sein.

Wenn wir die Entfernung, die das Auto in unserer infinitesimalen Zeitspanne zurückgelegt hat, durch diese Zeit dividieren, erhalten wir auch die Geschwindigkeit. Aber nicht mehr durchschnittlich, sondern "sofort". Und es wird auch unendlich viele solcher augenblicklichen Geschwindigkeiten geben.

Wenn Sie alle oben genannten Punkte verstehen, verstehen Sie die Bedeutung der Ableitung. Eine Ableitung ist die Geschwindigkeit, mit der sich etwas ändert. In unserem Fall ist Geschwindigkeit beispielsweise die Geschwindigkeit, mit der sich die "zurückgelegte Strecke" im Laufe der Zeit ändert. Oder vielleicht "die Geschwindigkeit der Temperaturänderung mit einer Änderung der Länge nach Norden". Oder "die Geschwindigkeit des Verschwindens von Süßigkeiten aus einer Vase in der Küche". Im Allgemeinen, wenn es etwas gibt, einen bestimmten Wert "Y", der von einem Wert "X" abhängt, dann höchstwahrscheinlich dort ist eine Ableitung, die dy / dx geschrieben ist. Und es zeigt nur, wie sich der Wert von y mit einer infinitesimalen Änderung des Wertes von x ändert - wie sich unsere Entfernung mit einer infinitesimalen Änderung der Zeit geändert hat.