Παράγωγος υπολογιστής

Τι είναι το Παράγωγο στα Μαθηματικά

Το παράγωγο μιας συνάρτησης είναι μια έννοια του διαφορικού λογισμού που χαρακτηρίζει τον ρυθμό αλλαγής μιας συνάρτησης σε ένα δεδομένο σημείο. Ορίζεται ως το όριο της αναλογίας αύξησης της συνάρτησης προς την αύξηση του ορίσματός της όταν η αύξηση του ορίσματος τείνει στο μηδέν, εάν υπάρχει τέτοιο όριο. Μια συνάρτηση που έχει ένα πεπερασμένο παράγωγο (σε κάποιο σημείο) ονομάζεται διαφοροποιήσιμη (σε αυτό το σημείο).

Η διαδικασία υπολογισμού του παραγώγου ονομάζεται διαφοροποίηση. Η αντίστροφη διαδικασία - εύρεση του πρωτότυπου - ολοκλήρωση.

Γιατί μπορεί να χρειαστεί να υπολογίσετε το Παράγωγο

Με την πρώτη ματιά, χρειάζονται παράγωγα για να γεμίσουν τα κεφάλια ήδη φορτωμένων μαθητών, αλλά αυτό δεν ισχύει. Σκεφτείτε ένα αυτοκίνητο που οδηγεί στην πόλη. Μερικές φορές στέκεται, μερικές φορές οδηγεί, μερικές φορές φρενάρει, μερικές φορές επιταχύνει.

Ας πούμε ότι οδήγησε 3 ώρες και οδήγησε 60 χιλιόμετρα. Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας τον τύπο από το δημοτικό σχολείο, διαιρούμε το 60 με το 3 και λέμε ότι οδηγούσε με ταχύτητα 20 km / h. Έχουμε δίκιο; Λοιπόν, εν μέρει σωστά. Έχουμε την "μέση ταχύτητα". Αλλά ποια είναι η χρήση του; Το αυτοκίνητο μπορεί να πάει με αυτή την ταχύτητα για 5 λεπτά και τον υπόλοιπο χρόνο πήγε πιο αργά ή πιο γρήγορα. Τι πρέπει να κάνω?

Και γιατί πρέπει να γνωρίζουμε την ταχύτητα και για τις 3 ώρες της διαδρομής; Ας χωρίσουμε τη διαδρομή σε 3 μέρη για μία ώρα και να υπολογίσουμε την ταχύτητα σε κάθε ενότητα. Ας Ας υποθέσουμε ότι έχετε 10, 20 και 30 km / h. Εδώ. Η κατάσταση είναι ήδη πιο ξεκάθαρη - το αυτοκίνητο οδηγούσε πιο γρήγορα την τελευταία ώρα από ό, τι στις προηγούμενες.

Αλλά αυτό είναι πάλι κατά μέσο όρο. Τι γίνεται αν οδηγούσε αργά για μισή ώρα την τελευταία ώρα και έπειτα επιταχύνθηκε ξαφνικά και άρχισε να οδηγεί γρήγορα; Ναι, μπορεί να είναι έτσι.

Όπως μπορούμε να δούμε, όσο περισσότερο σπάσουμε το διάστημα των 3 ωρών, τόσο πιο ακριβές θα έχουμε το αποτέλεσμα. Αλλά δεν χρειαζόμαστε ένα "πιο ακριβές" αποτέλεσμα - χρειαζόμαστε ένα απολύτως ακριβές αποτέλεσμα. Αυτό σημαίνει ότι ο χρόνος πρέπει να χωριστεί σε έναν άπειρο αριθμό τμημάτων. Και το ίδιο το μέρος - επομένως θα είναι απείρως μικρό.

Αν διαιρέσουμε την απόσταση που έχει διανύσει το αυτοκίνητο στην άπειρη χρονική περίοδο έως τώρα, έχουμε επίσης την ταχύτητα. Όμως δεν είναι πλέον μέσος όρος, αλλά "στιγμιαία". Και θα υπάρχουν επίσης πάρα πολλές τέτοιες στιγμιαίες ταχύτητες.

Εάν καταλαβαίνετε όλα τα παραπάνω, τότε καταλαβαίνετε την έννοια του παραγώγου. Ένα παράγωγο είναι η ταχύτητα με την οποία κάτι αλλάζει. Για παράδειγμα, στην περίπτωσή μας, η ταχύτητα είναι η ταχύτητα με την οποία αλλάζει η "απόσταση απόστασης" με την πάροδο του χρόνου. Ή ίσως "η ταχύτητα της θερμοκρασίας αλλάζει με μια αλλαγή στο μήκος στο Βορρά". Ή "η ταχύτητα εξαφάνισης γλυκών από ένα βάζο στην κουζίνα." Γενικά, αν υπάρχει κάτι, μια συγκεκριμένη τιμή "Y", που εξαρτάται από κάποια τιμή "X", τότε πιθανότατα, εκεί είναι ένα παράγωγο που είναι γραμμένο dy / dx. Και δείχνει απλώς πώς αλλάζει η τιμή του y με μια ελάχιστη αλλαγή στην τιμή του x - πώς άλλαξε η απόσταση μας με μια ελάχιστη αλλαγή στο χρόνο.