Calculadora de Derivadas

¿Qué es la derivada en matemáticas?

La derivada de una función es un concepto de cálculo diferencial que caracteriza la tasa de cambio de una función en un punto dado. Se define como el límite de la relación entre el incremento de la función y el incremento de su argumento cuando el incremento del argumento tiende a cero, si tal límite existe. Una función que tiene una derivada finita (en algún punto) se llama diferenciable (en este punto).

El proceso de cálculo de la derivada se llama diferenciación. El proceso inverso - encontrar el original - integración.

Por qué es posible que deba calcular la derivada

A primera vista, se necesitan derivados para llenar las cabezas de escolares ya sobrecargados, pero este no es el caso. Considere un automóvil que circula por la ciudad. A veces se para, a veces conduce, a veces frena, a veces acelera.

Digamos que condujo 3 horas y 60 kilómetros. Luego, usando la fórmula de la escuela primaria, dividimos 60 entre 3 y decimos que conducía a 20 km / h. Estamos en lo cierto? Bueno, en parte correcto. Obtuvimos la "velocidad media". Pero, ¿de qué sirve? El automóvil puede ir a esta velocidad durante 5 minutos, y el resto del tiempo fue más lento o más rápido. ¿Qué tengo que hacer?

¿Y por qué necesitamos conocer la velocidad durante las 3 horas de la ruta? Dividamos la ruta en 3 partes durante una hora y calculemos la velocidad en cada sección. Vamos. Digamos que obtienes 10, 20 y 30 km / h. Aquí. La situación ya es más clara: el automóvil conducía más rápido en la última hora que en las anteriores.

Pero esto es nuevamente en promedio. ¿Qué pasa si condujo lentamente durante media hora en la última hora, y luego aceleró repentinamente y comenzó a conducir rápido? Sí, puede que sea así.

Como podemos ver, cuanto más analicemos nuestro intervalo de 3 horas, más preciso obtendremos el resultado. Pero no necesitamos un resultado "más preciso", necesitamos un resultado completamente exacto. Esto significa que el tiempo debe dividirse en un número infinito de partes. Y la parte en sí, por lo tanto, será infinitamente pequeña.

Si dividimos la distancia que ha recorrido el automóvil en nuestro período infinitesimal de tiempo por este tiempo, también obtenemos la velocidad. Pero ya no promedio, sino "instantáneo". Y también habrá infinitas velocidades instantáneas.

Si comprende todo lo anterior, entonces comprende el significado de la derivada. Una derivada es la velocidad a la que algo cambia. Por ejemplo, en nuestro caso, la velocidad es la velocidad a la que la "distancia recorrida" cambia con el tiempo. O tal vez "la velocidad del cambio de temperatura con un cambio de longitud hacia el norte". O "la velocidad con la que desaparecen los dulces de un jarrón en la cocina". En general, si hay algo, un cierto valor "Y", que depende de algún valor "X", entonces lo más probable es que haya es una derivada que se escribe dy / dx. Y solo muestra cómo cambia el valor de y con un cambio infinitesimal en el valor de x, cómo cambió nuestra distancia con un cambio infinitesimal en el tiempo.