Származtatott számológép

Mi a derivált a matematikában

A függvény deriváltja a differenciálszámítás fogalma, amely jellemzi a függvény változásának sebességét egy adott pontban. Ha a határérték létezik, akkor a függvény növekményének és az argumentum növekményének arányának határértékeként határozzuk meg, amikor az argumentum növekménye nulla. Egy függvényt, amelynek véges deriváltja van (valamikor), differenciálhatónak nevezzük (ezen a ponton).

A derivált számításának folyamatát differenciálásnak nevezzük. A fordított folyamat - az eredeti megtalálása - integráció.

Miért kell kiszámítania a származtatott ügyletet?

Első pillantásra derivatívákra van szükség a már túlterhelt iskolások fejének betöltéséhez, de ez nem így van. Vegyünk egy autót, amely körbevezet a városban. Néha áll, néha hajt, néha fékez, néha gyorsul.

Tegyük fel, hogy 3 órát vezetett és 60 kilométert vezetett. Ezután az általános iskola képletének segítségével elosztjuk a 60-at 3-mal, és azt mondjuk, hogy 20 km / h-val haladt. Igazunk van? Nos, részben igaz. Megkaptuk az "átlagos sebességet". De mi haszna van ennek? Az autó 5 percig képes ilyen sebességgel haladni, a fennmaradó időben pedig lassabban vagy gyorsabban haladt. Mit kellene tennem?

És miért kell tudnunk az útvonal mindhárom órájának sebességét? Osszuk el az útvonalat 3 részre egy órán keresztül, és számítsuk ki az egyes szakaszok sebességét. Nézzük. Tegyük fel, hogy 10, 20 és 30 km / h sebességet ér el. Itt. A helyzet már egyértelműbb - az autó az elmúlt órában gyorsabban haladt, mint az előzőekben.

De ez megint átlagosan. Mi lenne, ha csak lassan vezetett fél órát az utolsó órában, majd hirtelen felgyorsult és gyorsan vezetni kezdett? Igen, lehet, hogy így van.

Mint láthatjuk, minél jobban lebontjuk a 3 órás intervallumunkat, annál pontosabb lesz az eredmény. De nem kell "pontosabb" eredmény - teljesen pontos eredményre van szükségünk. Ez azt jelenti, hogy az időt végtelen számú részre kell felosztani. És maga a rész - ezért végtelenül kicsi lesz.

Ha erre az időre elosztjuk azt a távolságot, amelyet az autó végtelenül kis időn belül megtett, akkor megkapjuk a sebességet is. De már nem átlagos, hanem "azonnali". És végtelen sok ilyen pillanatnyi sebesség is lesz.

Ha megérted a fentieket, akkor megérted a származék jelentését. A derivált az a sebesség, amellyel valami megváltozik. Például esetünkben a sebesség az a sebesség, amelynél a "megtett távolság" az idő múlásával változik. Vagy talán "a hőmérséklet változásának sebessége az északi hosszúság változásával". Vagy "az édesség eltűnésének sebessége a konyhában lévő vázából." Általában, ha van valami, akkor egy bizonyos "Y" érték, amely függ valamilyen értéktől "X", akkor valószínűleg ott egy derivált, amelyet dy / dx írnak. És ez csak azt mutatja, hogy az y értéke hogyan változik az x értékének végtelen kis változásával - hogyan változott a távolságunk az idő végtelen kis változásával.