Калькулятор производных

Что такое производная в математике

Производная функции - это понятие дифференциального исчисления, которое характеризует скорость изменения функции в данной точке. Он определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю, если такой предел существует. Функция, имеющая конечную производную (в некоторой точке), называется дифференцируемой (в этой точке).

Процесс вычисления производной называется дифференцированием. Обратный процесс - поиск оригинала - интеграция.

Почему вам может понадобиться рассчитать производную

На первый взгляд производные нужны, чтобы набить головы уже перегруженным школьникам, но это не так. Рассмотрим машину, которая ездит по городу. Иногда стоит, иногда едет, иногда тормозит, иногда ускоряется.

Допустим, он ехал 3 часа и проехал 60 километров. Затем, используя формулу из начальной школы, мы делим 60 на 3 и говорим, что она ехала со скоростью 20 км / ч. Мы правы? Что ж, отчасти верно. Получили "среднюю скорость". Но что от этого толку? На этой скорости машина может ехать 5 минут, а в остальное время ехать медленнее или быстрее. Что я должен делать?

А зачем нам знать скорость на все 3 часа маршрута? Разделим маршрут на 3 части по часу и рассчитаем скорость на каждом участке. Давайте. Допустим, у вас скорость 10, 20 и 30 км/ч. Вот. Ситуация уже более ясная - в последний час машина ехала быстрее, чем в предыдущие.

Но это опять же в среднем. Что, если он просто ехал медленно полчаса за последний час, а затем внезапно ускорился и начал быстро двигаться? Да, может быть так.

Как мы видим, чем больше мы разбиваем наш 3-часовой интервал, тем точнее мы получим результат. Но нам не нужен «более точный» результат - нам нужен совершенно точный результат. Это означает, что время нужно делить на бесконечное количество частей. А сама деталь - значит, будет бесконечно маленькой.

Если мы разделим на это время расстояние, которое машина преодолела за бесконечно малый период времени, мы также получим скорость. Но уже не средний, а "моментальный". И таких мгновенных скоростей тоже будет бесконечно много.

Если вы понимаете все вышеперечисленное, тогда вы понимаете значение производной. Производная - это скорость, с которой что-то меняется. Например, в нашем случае скорость - это скорость, с которой «пройденное расстояние» изменяется во времени. А может быть "скорость изменения температуры при изменении долготы к северу". Или "скорость исчезновения конфет из вазы на кухне". В общем, если есть что-то, определенное значение "Y", которое зависит от некоторого значения "X", то, скорее всего, есть является производной, которая записывается как dy / dx. И это просто показывает, как значение y изменяется при бесконечно малом изменении значения x - как наше расстояние изменилось при бесконечно малом изменении во времени.