Derivátová kalkulačka

Co je derivace v matematice

Derivát funkce je koncept diferenciálního počtu, který charakterizuje rychlost změny funkce v daném bodě. Je definován jako limit poměru přírůstku funkce k přírůstku jejího argumentu, když přírůstek argumentu má tendenci k nule, pokud takový limit existuje. Funkce, která má konečnou derivaci (v určitém okamžiku), se nazývá differentiable (v tomto bodě).

Proces výpočtu derivace se nazývá diferenciace. Opačný proces - nalezení originálu - integrace.

Proč možná budete muset vypočítat derivaci

Na první pohled jsou deriváty potřebné k naplnění hlavy již přetížených školáků, ale není tomu tak. Zvažte auto, které jezdí po městě. Někdy stojí, někdy jede, někdy brzdí, někdy zrychluje.

Řekněme, že jel 3 hodiny a 60 kilometrů. Poté pomocí vzorce ze základní školy dělíme 60 na 3 a říkáme, že jela rychlostí 20 km/h. Máme pravdu? Částečně správně. Dostali jsme "průměrnou rychlost". Ale k čemu to slouží? Auto může jet touto rychlostí po dobu 5 minut a po zbytek času šlo buď pomaleji, nebo rychleji. Co bych měl dělat?

A proč potřebujeme znát rychlost pro všechny 3 hodiny trasy? Rozdělme trasu na 3 části po dobu jedné hodiny a vypočítejme rychlost v každém úseku. Pojďme. Řekněme, že získáte 10, 20 a 30 km / h. Tady. Situace je již jasnější - auto v poslední hodině řídilo rychleji než v předchozích.

Ale to je opět v průměru. Co když to poslední hodinu jen půl hodiny pomalu jelo a pak najednou zrychlilo a začalo rychle jet? Ano, může to tak být.

Jak vidíme, čím více rozložíme náš 3hodinový interval, tím přesnější získáme výsledek. Nepotřebujeme ale "přesnější" výsledek - potřebujeme zcela přesný výsledek. To znamená, že čas musí být rozdělen na nekonečný počet částí. A část sama o sobě - proto bude nekonečně malá.

Vydělíme-li vzdálenost, kterou auto urazilo v naší nekonečně malé době, touto dobou, dostaneme také rychlost. Ale už ne průměrný, ale "okamžitý". A takových okamžitých rychlostí bude také nekonečně mnoho.

Pokud rozumíte všem výše uvedeným, chápete význam derivace. Derivátem je rychlost, s jakou se něco mění. Například v našem případě je rychlost rychlost, kterou se "ujetá vzdálenost" v průběhu času mění. Nebo možná "rychlost změny teploty se změnou zeměpisné délky na sever". Nebo "rychlost mizení sladkostí z vázy v kuchyni." Obecně platí, že pokud něco existuje, určitá hodnota "Y", která závisí na nějaké hodnotě "X", pak s největší pravděpodobností existuje je derivát, který se píše dy / dx. A to jen ukazuje, jak se hodnota y mění s nekonečně malou změnou hodnoty x - jak se naše vzdálenost změnila s nekonečně malou změnou v čase.