Derivaträknare

Vad är derivat i matematik

Derivat av en funktion är ett begrepp av differentiell beräkning som karakteriserar förändringshastigheten för en funktion vid en given punkt. Det definieras som gränsen för förhållandet mellan funktionens tillväxt och ökningen av dess argument när argumentets ökning tenderar att vara noll, om en sådan gräns finns. En funktion som har ett ändligt derivat (någon gång) kallas differentierbart (vid denna punkt).

Processen för att beräkna derivatet kallas differentiering. Den omvända processen - att hitta originalet - integration.

Varför du kan behöva beräkna Derivat

Vid första anblicken behövs derivat för att fylla huvudet på redan överbelastade skolbarn, men så är inte fallet. Tänk på en bil som kör runt i staden. Ibland står det, ibland kör det, ibland bromsar det, ibland accelererar det.

Låt oss säga att det körde 3 timmar och körde 60 kilometer. Sedan, med hjälp av formeln från grundskolan, delar vi 60 med 3 och säger att hon körde i 20 km/h. Har vi rätt? Tja, delvis rätt. Vi fick "medelhastighet". Men vad är nyttan med det? Bilen kan gå med denna hastighet i 5 minuter, och resten av tiden gick den antingen långsammare eller snabbare. Vad ska jag göra?

Och varför behöver vi veta hastigheten för alla tre timmars rutt? Låt oss dela rutten i 3 delar under en timme och beräkna hastigheten på varje avsnitt. Låt oss. Låt oss säga att du får 10, 20 och 30 km/h. Här. Situationen är redan tydligare - bilen körde snabbare den senaste timmen än i de tidigare.

Men det här är i genomsnitt igen. Vad händer om det bara körde långsamt i en halvtimme den senaste timmen och sedan plötsligt accelererade och började köra snabbt? Ja, det kan vara så.

Som vi kan se, ju mer vi bryter ner vårt 3-timmarsintervall, desto mer exakt får vi resultatet. Men vi behöver inte ett "mer exakt" resultat - vi behöver ett helt korrekt resultat. Detta innebär att tiden måste delas upp i ett oändligt antal delar. Och själva delen - därför kommer att vara oändligt liten.

Om vi delar avståndet som bilen har rest under vår oändliga tidsperiod vid den här tiden får vi också hastigheten. Men inte längre i genomsnitt, utan "instant". Och det kommer också att finnas oändligt många sådana momentana hastigheter.

Om du förstår allt ovanstående förstår du betydelsen av derivatet. Ett derivat är den hastighet med vilken något förändras. I vårt fall är till exempel hastigheten den hastighet med vilken "rest sträcka" ändras över tiden. Eller kanske "temperaturförändringens hastighet med en förändring i longitud mot norr". Eller "hastigheten för att försvinna sötsaker från en vas i köket. "I allmänhet, om det finns något, ett visst värde "Y", vilket beror på något värde "X", då är det troligtvis det är ett derivat som skrivs dy/dx. Och det visar bara hur värdet på y ändras med en oändlig förändring av värdet på x - hur vårt avstånd förändrades med en oändlig tidsförändring.