Calculadora Derivada

O que é derivado em matemática

A derivada de uma função é um conceito de cálculo diferencial que caracteriza a taxa de variação de uma função em um determinado ponto. É definido como o limite da razão entre o incremento da função e o incremento do seu argumento quando o incremento do argumento tende a zero, se tal limite existir. Uma função que possui uma derivada finita (em algum ponto) é chamada diferenciável (neste ponto).

O processo de cálculo da derivada é denominado diferenciação. O processo inverso - encontrar o original - integração.

Por que você pode precisar calcular o derivado

À primeira vista, os derivados são necessários para preencher a cabeça de escolares já sobrecarregados, mas não é o caso. Considere um carro que circula pela cidade. Às vezes fica de pé, às vezes dirige, às vezes freia, às vezes acelera.

Digamos que ele dirigiu 3 horas e 60 quilômetros. Então, usando a fórmula do ensino fundamental, dividimos 60 por 3 e dizemos que ela dirigia a 20 km / h. Estamos certos? Bem, parcialmente certo. Conseguimos a "velocidade média". Mas qual é a utilidade disso? O carro pode ir nessa velocidade por 5 minutos e, no resto do tempo, ele ficou mais lento ou mais rápido. O que devo fazer?

E por que precisamos saber a velocidade de todas as 3 horas de percurso? Vamos dividir a rota em 3 partes por uma hora e calcular a velocidade em cada seção. Vamos. Digamos que você obtenha 10, 20 e 30 km / h. Aqui. A situação já é mais clara - o carro rodou mais rápido na última hora do que nas anteriores.

Mas isso é novamente na média. E se ele apenas dirigisse devagar por meia hora na última hora e de repente acelerasse e começasse a dirigir rápido? Sim, pode ser assim.

Como podemos ver, quanto mais dividimos nosso intervalo de 3 horas, mais preciso obteremos o resultado. Mas não precisamos de um resultado "mais preciso" - precisamos de um resultado totalmente preciso. Isso significa que o tempo deve ser dividido em um número infinito de partes. E a própria parte - portanto, será infinitamente pequena.

Se dividirmos a distância que o carro percorreu em nosso período infinitesimal de tempo, também obteremos a velocidade. Mas não mais na média, mas "instantâneo". E também haverá um número infinito dessas velocidades instantâneas.

Se você entendeu tudo acima, então entende o significado da derivada. Uma derivada é a velocidade com que algo muda. Por exemplo, em nosso caso, velocidade é a velocidade na qual a "distância percorrida" muda com o tempo. Ou talvez "a velocidade da mudança de temperatura com uma mudança na longitude para o Norte". Ou "a velocidade de desaparecimento de doces de um vaso na cozinha." Em geral, se houver algo, um certo valor "Y", que depende de algum valor "X", então provavelmente, lá é um derivado escrito dy/dx. E isso apenas mostra como o valor de y muda com uma mudança infinitesimal no valor de x - como nossa distância mudou com uma mudança infinitesimal no tempo.