Calculator de derivate

Ce este derivatul în matematică

Derivata unei funcții este un concept de calcul diferențial care caracterizează rata de schimbare a unei funcții într-un punct dat. Este definită ca limita raportului dintre creșterea funcției și creșterea argumentului său atunci când creșterea argumentului tinde la zero, dacă există o astfel de limită. O funcție care are o derivată finită (la un moment dat) se numește diferențiată (în acest moment).

Procesul de calcul al derivatei se numește diferențiere. Procesul invers - găsirea originalului - integrare.

De ce poate fi necesar să calculați instrumentul derivat

La prima vedere, sunt necesare instrumente derivate pentru a umple capul școlarilor deja supraîncărcați, dar acest lucru nu este cazul. Luați în considerare o mașină care circulă prin oraș. Uneori stă, uneori conduce, alteori frânează, alteori accelerează.

Să presupunem că a condus 3 ore și 60 de kilometri. Apoi, folosind formula din școala elementară, împărțim 60 la 3 și spunem că ea conducea cu 20 km / h. Avem dreptate? Ei bine, parțial dreptate. Am obținut "viteza medie". Dar la ce folosește? Mașina poate merge la această viteză timp de 5 minute, iar în restul timpului fie a mers mai încet, fie mai repede. Ce ar trebuii să fac?

Și de ce trebuie să știm viteza pentru toate cele 3 ore ale traseului? Să împărțim ruta în 3 părți timp de o oră și să calculăm viteza pe fiecare secțiune. Hai. Să presupunem că obțineți 10, 20 și 30 km / h. Aici. Situația este deja mai clară - mașina circula mai repede în ultima oră decât în precedentele.

Dar acest lucru este din nou în medie. Ce se întâmplă dacă a condus încet timp de o jumătate de oră în ultima oră și apoi a accelerat brusc și a început să conducă repede? Da, poate fi așa.

După cum putem vedea, cu cât ne descompunem mai mult intervalul de 3 ore, cu atât mai precis vom obține rezultatul. Dar nu avem nevoie de un rezultat "mai precis" - avem nevoie de un rezultat complet precis. Aceasta înseamnă că timpul trebuie împărțit într-un număr infinit de părți. Și partea în sine - prin urmare va fi infinit de mică.

Dacă împărțim distanța parcursă de mașină în perioada noastră infinitesimală de timp cu acest timp, obținem și viteza. Dar nu mai este medie, ci "instant". Și vor exista, de asemenea, infinit de multe astfel de viteze instantanee.

Dacă înțelegeți toate cele de mai sus, atunci înțelegeți semnificația derivatului. O derivată este viteza cu care se schimbă ceva. De exemplu, în cazul nostru, viteza este viteza cu care se modifică "distanța parcursă" în timp. Sau poate "viteza de schimbare a temperaturii cu o schimbare de longitudine spre nord". Sau "viteza de dispariție a dulciurilor dintr-o vază din bucătărie." În general, dacă există ceva, o anumită valoare "Y", care depinde de o anumită valoare "X", atunci cel mai probabil, acolo este un derivat care este scris dy / dx. Și arată doar modul în care valoarea lui y se schimbă cu o schimbare infinitesimală în valoarea lui x - cum s-a schimbat distanța noastră cu o schimbare infinitesimală în timp.