Calcolatore Derivato

Cos'è la derivata in matematica

La derivata di una funzione è un concetto di calcolo differenziale che caratterizza la velocità di variazione di una funzione in un dato punto. È definito come il limite del rapporto tra l'incremento della funzione e l'incremento del suo argomento quando l'incremento dell'argomento tende a zero, se tale limite esiste. Una funzione che ha una derivata finita (a un certo punto) è chiamata differenziabile (a questo punto).

Il processo di calcolo della derivata è chiamato differenziazione. Il processo inverso - trovare l'originale - integrazione.

Perché potrebbe essere necessario calcolare il derivato

A prima vista, i derivati sono necessari per riempire la testa degli scolari già sovraccarichi, ma non è così. Considera un'auto che gira per la città. A volte sta in piedi, a volte guida, a volte frena, a volte accelera.

Diciamo che ha guidato 3 ore e percorso 60 chilometri. Quindi, usando la formula della scuola elementare, dividiamo 60 per 3 e diciamo che stava guidando a 20 km / h. Abbiamo ragione? Bene, in parte giusto. Abbiamo ottenuto la "velocità media". Ma a cosa serve? L'auto può andare a questa velocità per 5 minuti e il resto del tempo è andata più lenta o più veloce. Cosa dovrei fare?

E perché dobbiamo conoscere la velocità per tutte e 3 le ore del percorso? Dividiamo il percorso in 3 parti per un'ora e calcoliamo la velocità su ogni sezione. Andiamo. Diciamo che ottieni 10, 20 e 30 km/h. Qui. La situazione è già più chiara: l'auto andava più veloce nell'ultima ora rispetto alle precedenti.

Ma questo è di nuovo in media. E se nell'ultima ora avesse guidato lentamente per mezz'ora, poi improvvisamente accelerasse e iniziasse a guidare veloce? Sì, potrebbe essere così.

Come possiamo vedere, più analizziamo il nostro intervallo di 3 ore, più preciso otterremo il risultato. Ma non abbiamo bisogno di un risultato "più accurato" - abbiamo bisogno di un risultato completamente accurato. Ciò significa che il tempo deve essere suddiviso in un numero infinito di parti. E la parte stessa, quindi, sarà infinitamente piccola.

Se dividiamo la distanza percorsa dall'auto nel nostro periodo di tempo infinitesimale entro questo tempo, otteniamo anche la velocità. Ma non più nella media, ma "istantaneo". E ci saranno anche infinite di queste velocità istantanee.

Se comprendi tutto quanto sopra, allora comprendi il significato del derivato. Un derivato è la velocità con cui qualcosa cambia. Ad esempio, nel nostro caso, la velocità è la velocità alla quale la "distanza percorsa" cambia nel tempo. O forse "la velocità di variazione della temperatura con un cambiamento di longitudine verso nord". Oppure "la velocità con cui i dolci scompaiono da un vaso in cucina." In generale, se c'è qualcosa, un certo valore "Y", che dipende da un valore "X", allora molto probabilmente, lì è un derivato che si scrive dy / dx. E mostra solo come il valore di y cambia con un cambiamento infinitesimale nel valore di x - come la nostra distanza è cambiata con un cambiamento infinitesimale nel tempo.